Задача о мудрецах и колпаках.

Задача о трех мудрецах широко известна. Я встретился с ней еще в детстве и был очарован изяществом решения, но еще с тех пор осталось ощущение ловкого фокуса, когда понимаешь, что кролик не мог сам появиться в шляпе, но не успеваешь проследить за рукой фокусника. Недавно я решил попробовать записать решение в виде формального логического вывода, столкнулся с серьезными затруднениями и вынужден был заново ее обдумать. Напомню условие задачи.

Задача. Три мудреца поспорили, кто из них самый умный и обратились к четвертому, чтобы он их рассудил. Судья сообщил мудрецам, что у него есть три белых колпака и два черных, после чего надел каждому колпак на голову так, чтобы каждый видел только колпаки двух других мудрецов. Мудрецам требовалось угадать цвет колпака на собственной голове. Через некоторое время один из мудрецов сообщил, что у него на голове белый колпак и выиграл состязание. Как он смог догадаться?

Классическое решение. Если мудрец видит, что у его соперников черные колпаки (Ситуация 1), то он может смело утверждать, что у него - белый колпак, поскольку оба черных уже заняты.

Если мудрец видит на головах соперников черный и белый колпаки (ситуация 2), то он может рассудить так: «Если у меня на голове колпак черный, то мудрец в белом колпаке видит перед собой два черных колпака (находится в ситуации 1), и должен сообразить, что на нем колпак белый. Но он молчит, значит на мне белый колпак».

Наконец, увидев перед собой обоих соперников в белых колпаках (ситуация 3), мудрец мог рассудить: «если у меня черный колпак, то любой из моих соперников видит перед собой черный и белый колпаки (ситуация 2), и должен понять, что на нем колпак белый. Но он молчит, значит на мне белый колпак».

Решение это захватывает рекурсивным погружением, где на каждом шаге добавляется информация о рассуждениях противников, и это щекочущее гипнотическое погружение разрешается ощущением изящества и ясной целостности решения. Но давайте отвлечемся от поэзии решения и попробуем проанализировать использованную в нем математическую модель и ее адекватность условиям задачи. Прежде всего, давайте проверим ее на граничных условиях, например, определим, в каких случаях мудрец должен сделать вывод, что на нем черный колпак.





Всего случаев могло быть ровно три:

- на соперниках колпаки черные;

- на одном сопернике черный колпак, на другом – белый;

- на обоих соперниках колпаки белые.

Это как раз описанные выше Ситуации 1, 2 и 3. В каждой из этих ситуаций, в соответствии с приведенным выше решением, мудрец должен прийти к заключению, что у него на голове белый колпак.

Наша стройная конструкция рушится, как только мы осознаем, что перечисленные выше ситуация 1, ситуация 2 и ситуация 3 являются исчерпывающим списком возможных вариантов, то есть, действуя по описанному выше методу, мудрец в любом случае должен прийти к заключению, что колпак на нем белый. Значит, мудрец должен после начала испытания посмотреть на своих соперников и, независимо от увиденного, через некоторое время объявить, что на нем белый колпак. Правда, совершенно непонятно, через какой именно промежуток времени надо делать заявление.

В классическом решении неявно использованы очень сильные допущения, которые никак не вытекают из условий задачи:

1. Предполагается, что все три мудреца будут использовать один и тот же метод рассуждения. Предположение это тем более безосновательно, что мудрецы как раз отличаются оригинальностью мышления. Например, один из них мог попробовать определить цвет колпака по расположению звезд.

2. Предполагается, что мудрецы думают с примерно одинаковой, или, по крайней мере, с предсказуемой скоростью. Без такого допущения невозможно установить время, необходимое для соответствующей цепочки рассуждений. Считается, что если мудрец дошел в своих рассуждениях до некоторого вывода, то и остальные сделали то же. Предположение это очень сильное, но с ним кое-как можно смириться, - раз уж эти трое никак не могли решить, кто из них умнее.

3. Предполагается, что мудрецы приступают к решению задачи только после того, как на них надели колпаки, и не пытаются продумать варианты решения до начала испытания. Это очень странно, поскольку при испытании возможны только три описанные выше варианта, и представляется естественным продумать варианты ответа заранее. Но такая возможность радикально противоречит замыслу автора задачи, поскольку, стоит мудрецам заранее задуматься, как они отвергнут навязываемый им метод рассуждения.

4. Предполагается, что мудрец, догадавшись, какой колпак у него на голове, поспешит немедленно об этом сообщить. Если мудрец молчит, то считается, что он не догадался о цвете своего колпака. Но ведь его задача - не определить цвет колпака, а доказать свое умственное превосходство. Велика ли заслуга, увидев перед собой обоих соперников в черных колпаках, догадаться, что у тебя на голове - белый колпак? Этот мудрец просто оказался в лучших условиях по сравнению с другими, и быстрый ответ не докажет превосходства. Вот если в такой ситуации промолчать, то один из соперников может воспользоваться методом, предложенным автором задачи, и ошибочно решит, что он находится в ситуации 3, даст неверный ответ и продемонстрирует свою глупость.

Из приведенных замечаний следует, что классическое решение опирается на произвольно принятые допущения и не может быть признано убедительным объяснением того, как же рассуждал победитель.

Осмелюсь предложить несколько вариантов объяснения.

Решение 1. Победителю повезло (ситуация б). Но это ставит под сомнение добросовестность судьи (он должен был поставить всех в равное положение), а во-вторых, не свидетельствует о наличии мудрости у победителя, - ведь ему повезло, поэтому Решение 1 нельзя признать удовлетворительным.

Решение 2. Обдумав заблаговременно ситуации 1-3-г, победитель мог заметить, что в любом случае, вскоре после начала состязания, он должен заявить, что на нем белый колпак. И тут важно было произнести это раньше других, иначе он все равно проиграет. Поэтому лучшим решением было сразу же после начала состязания заявить, что он в белом колпаке, чтобы успеть сделать это раньше других.

Заметим, что это решение предполагает «одинаковомыслие» мудрецов (но большую предусмотрительность победителя).

Кроме того, такой победитель способен на разумный риск, что только подтверждает его мудрость.

Решение 3. Как это бывает свойственно мудрецам, победитель мог посмотреть на ситуацию со стороны. Судья - если он мудр и справедлив - должен был поставить состязающихся в равные условия, а это возможно только в том случае, когда все они в одинаковых белых колпаках.

Мне это решение кажется самым мудрым и справедливым.

Решение 4. Победитель определил цвет колпака по расположению звезд.

Такая способность несомненно доказывает его мудрость, но для меня остается непостижимой.